极限的保号性、运算法则、七种未定型

极限的保号性

1. $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A(A\neq0)$则$f(x)$与$A$同号。
2. $f(x)>0$，$\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$则$A\geq0$。

   无穷小运算

• 相同的运算法则

1. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^n)$其中$(m>n)$
2. $x^mo(x^n)=o(x^{m+n})$
3. $\frac{o(x^m)}{o(x^n)}=0$其中$(m>n)$
4. $ko(x^n)=o(x^n)$

• 注意无穷大加减运算与无穷小相反。

1. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^m)$其中$(m>n)$

   七种未定型的极限

   1. 第一类：$\frac{0}{0}$，$\frac{\infty}{\infty}$，$0\cdot\infty$

2. 洛必达法则
3. 等价无穷小代换
4. 泰勒展开式
5. 消去去穷大（做大题用）
6. 抓大头（做选择、填空或者检验大题答案用）

   2. 第二类：$\infty^0$，$0^0$，$1^*$(1的任意次幂)

7. $1^*$常用${f(x)}^{g(x)}=e^{(f(x)-1)g(x)}$
8. $\infty^0$，$0^0$常用${u(x)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$

   3. 第三类：$\infty-\infty$

9. 有分母时通分化成前两种情况。
10. 没有分母倒代换构造分母。